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Integrale

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Das Integral beschreibt das Verhältnis zwischen den Flächen zwischen Graph und Funktion. Mit den entsprechenden Grenzen kann man damit aber auch Flächen berechnen.

Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)

Grundintegrale

Fläche zwischen Graphen und Funktion bestimmen

  1. Nullstellen bestimmen
  1. Integrale zwischen den Intervallen bestimmen
  1. Die Beträge der Integrale addieren

Fläche zwischen zwei Funktionen

  1. Schnittpunkte und Nullstellen bestimmen
  1. Die Integrationsintervalle bilden
  1. Eine Differenzenfunktion bilden
  1. Die Integrale bestimmen in den Intervalle
  1. Die Beträge addieren

Integralfunktion

Ju(x)=∫uxf(t)dtJ_u(x) = \int_u^x f(t) dt

u ist dabei eine feste Grenze. Sie wird am Ende wie eine Konstante addiert.

Die Integralfunktion gibt das Integral an bezogen auf eine Stelle.

Unbegrenzte Flächen - Uneigentliche Integrale

Man untersucht die Fläche mit einer festen gegebenen Grenze und einer variablen Grenze.

Die variable Grenze geht dann gegen 0, unendlich oder der Definitionslücke.

Mittelwertsatz

Wenn zum Beispiel der durchschnittliche Funktionswert gefragt ist in einem Intervall

dann das Integral im Intervall bilden und durch das Intervall teilen

Rotationskörper

V=π∫ab(f(x))2dxV= \pi \int_a^b (f(x))^2dx

WICHTIG: DIE FUNKTION ERST QUADRIEREN. DANN INTEGRIEREN